о время дискуссии в одном из топиков на форуме
ФАСМа возникла следующая проблема: один из форумчан был сильно уверен в том, что \[0,(9) = 0,9999 \ldots < 1\] Многим людям это неравенство кажется очевидным и правильным, но как раз в этом случае математика противоречит человеческой интуиции. Здесь я решил представить доказательство факта \[0,(9) = 1\] потому что кажется оно несложным, а сам пример интересным как парадокс между формальным знанием и человеческим, интуитивным пониманием математики и мира чисел.
Теорема \[0,(9) = 0,9999 \ldots = 1\]
Доказательство Очевидно, что \[0,(9) = 0,9999 \ldots = 0,9 + 0,09 + 0,009 + \cdots = \sum_{i=1}^{\infty}0,9\frac{1}{10^{i-1}}\] Следовательно $0,(9)$ равно сумме членов бесконечной
геометрической прогрессии \[\frac{9}{10}, \frac{9}{10^{2}}, \frac{9}{10^{3}}, \cdots\] с первым членом равным $\frac{9}{10}$ и знаменателем прогрессии $\frac{1}{10}$. Так как сумма членов геометрической прогрессии с первым членом $a$ и знаменателем $|r| < 1$ равна \[\sum_{i=1}^{\infty} ar^{i-1} = \frac{a}{1-r}\] тогда получаем \[0,(9) = \sum_{i=1}^{\infty}0,9\frac{1}{10^{i-1}} = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1\] ч.т.д.