odczas dyskusji w jednym z wątków na forum
FASMa wynikł następujący problem: jeden z forumowiczów był święcie przekonany, iż \[0,(9) = 0,9999 \ldots < 1\] Wielu ludziom owa nierówność również wydać się może oczywistą i prawdziwą, lecz w tym przypadku matematyka przeczy ich intuicji. Postanowiłem umieścić tutaj dowód faktu \[0,(9) = 1\] ze względu na jego prostotę i wartość poznawczą samego przykładu, który jawi się paradoksem pomiędzy formalną nauką a ludzkim, intuicyjnym pojmowaniem matematyki i świata liczb.
Twierdzenie \[0,(9) = 0,9999 \ldots = 1\]
Dowód Oczywiste jest, iż \[0,(9) = 0,9999 \ldots = 0,9 + 0,09 + 0,009 + \cdots = \sum_{i=1}^{\infty}0,9\frac{1}{10^{i-1}}\] Stąd $0,(9)$ jest sumą wyrazów nieskończonego
ciągu geometrycznego \[\frac{9}{10}, \frac{9}{10^{2}}, \frac{9}{10^{3}}, \cdots\] o pierwszym wyrazie równym $\frac{9}{10}$ i ilorazie $\frac{1}{10}$. Ponieważ suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym $a$ i ilorazie $|r| < 1$ wyraża się wzorem \[\sum_{i=1}^{\infty} ar^{i-1} = \frac{a}{1-r}\] tak więc \[0,(9) = \sum_{i=1}^{\infty}0,9\frac{1}{10^{i-1}} = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1\] c.b.d.o.